Mathematik? Bei vielen weckt schon das Wort schlechte Erinnerungen an die Schulzeit. Und ehrlich gesagt: Drehen sich diese abstrakten Spielereien am Ende nicht ohnehin nur um sich selbst – im besten Fall unterhaltsam für ein paar Nerds?

Tatsächlich aber wäre unsere Welt ohne sie eine andere. Binärcode, Primzahlen und Graphen waren für die Mathematiker von damals freudiges Experimentieren. Ohne sie gäbe es heute keine Computer, keine Handys, keine künstliche Intelligenz.

Drei Streifzüge durch die Mathematikgeschichte – vom Zahlensystem aus Nullen und Einsen über Fermats Faktorisierung bis zum Königsberger Brückenproblem – zeigen, wie aus reiner Theorie die Grundlage unseres digitalen Alltags wurde.

Die binäre Darstellung von Zahlen

Als Binärsystem bezeichnet man die Darstellung von Zahlen durch nur zwei Zeichen – meist handelt es sich dabei um Nullen und Einsen. Den meisten Menschen wird eine Aneinanderreihung von Nullen und Einsen am ehesten in der Computerwelt begegnet sein.

„Erfunden“ wurde diese Art, Zahlen darzustellen, im 3. Jahrhundert vor Christus von dem indischen Mathematiker Pingala. So richtig offiziell wurde das Ganze durch den deutschen Mathematiker und Philosophen Gottfried Wilhelm Leibniz im Jahr 1697.

Unser gewöhnliches Zahlensystem, das wir im Alltag benutzen, ist das Dezimalsystem. Es beruht auf 10 Zeichen – anhand der zehn uns bekannten Ziffern können wir alle (ganzen) Zahlen, mit denen wir zählen und rechnen, beschreiben.

Leibniz stellte sich die Frage, ob man alle Zahlen nur durch zwei Zeichen darstellen könnte. Als Zahlenfolge von Nullen und Einsen zum Beispiel. Im Binärsystem steht die 0 für die Null, die 1 für die Eins, die 1 0 für die Zwei, die 1 1 für die Drei und immer so weiter. Er sah sein duales Zahlensystem sogar im Sinne der Schöpfung: Aus dem Nichts, also der Null, und Gottes Wort, der Eins, sei die gesamte Welt entstanden.

Heutzutage könnten wir ohne diese Darstellung keine digitalen Geräte benutzen. Unsere Laptops, Handys, Autos, selbst der Fahrkartenschalter basieren auf diesem Gedanken. Denn mit dieser einfachen Zweizifferdarstellung lassen sich Zahlen „digitalisieren“ – das heißt, man kann sie in elektrische Zustände übersetzen. „Strom an“ oder „Strom aus“ heißt dann in dem Fall Eins oder Null.

Die Faktorisierungsmethode von Fermat

Mehr als 200 Jahre später bildete die binäre Zahlendarstellung die Grundlage der Informatik und Computertechnik. Mit ihnen wuchs auch das Bedürfnis und Interesse daran, versendete Informationen und Nachrichten so zu verschlüsseln, dass sie nicht schnell und einfach mithilfe einer anderen Rechenmaschine wieder geknackt werden können.

Immerhin hatte der britische Mathematiker Alan Turing es im Jahr 1940 schon mit seinem rudimentären Computervorgänger geschafft, die als unknackbar geltende Enigma der Nazis zu entschlüsseln.

In der Kryptografie spielen Primzahlen – die Suche nach Zahlen, die die Grundbausteine aller anderen Zahlen bilden – eine Riesenrolle in der Anwendung. Jede ganze Zahl lässt sich eindeutig zerlegen, indem man sie als Produkt passender Primzahlen aufdröselt. Darauf beruhen häufig genutzte Verschlüsselungsverfahren wie zum Beispiel die RSA-Verschlüsselung.

Um eine verschlüsselte Nachricht lesen zu können, benötigt man dann einen sogenannten Schlüssel. Dieser Schlüssel sind die Primfaktoren einer riesigen Zahl. Wer den Schlüssel nicht hat, sieht nur eine sehr lange bedeutungslose Zahl.

Schlecht gewählte Schlüssel

Manchmal ist der Schlüssel jedoch so schlecht gewählt, dass er sich mithilfe eines einfachen Algorithmus knacken lässt. Und dieser führt zurück ins 17. Jahrhundert, zum französischen Mathematiker und Juristen Pierre de Fermat. Er entwickelte einen Algorithmus, mit dem sich relativ einfach berechnen ließ, welche Primzahlen miteinander multipliziert werden müssen, um eine jede Anfangszahl zu berechnen.

Bei großen, gut gewählten Zahlen dauert es meistens ewig, bis der Algorithmus die Lösung ausspuckt. Aber liefert diese sogenannte Faktorisierungsmethode von Fermat schnell eine Lösung, ist die Verschlüsselung zu schwach. Deshalb wird Fermats Methode heute vor allem dazu genutzt, gewählte Schlüssel auf ihre Stärke zu überprüfen.

Das Königsberger Brückenproblem

Der Schweizer Mathematiker Leonhard Euler stellte sich im 18. Jahrhundert bei einem Spaziergang im damaligen Königsberg die Frage, ob es einen Weg gibt, bei dem man alle sieben Brücken der Stadt genau einmal überqueren kann. Nach einigen Überlegungen bewies er: Nein. Und er legte damit den Grundstein für die sogenannte Graphentheorie.

Ein Graph ist eine Struktur, die Knoten über sogenannte Kanten miteinander verbindet. Man kann sich das ein bisschen wie eine Mindmap vorstellen. Oder einen U-Bahn-Plan. Die Knoten sind in dem Fall die Haltestationen und diese sind über Bahnstrecken miteinander verbunden, oder auch nicht. Beim Graphen spielen – wie auch beim U-Bahn-Plan oder der Mindmap – die Abstände zwischen den Knoten keine Rolle. Es geht allein um die möglichen Verbindungen.

Mathematiker haben die Graphentheorie in den letzten Jahrzehnten ausgearbeitet. Im Bereich der Informatik bilden Graphen unter anderem die Grundlage für künstliche neuronale Netzwerke. Schließlich können wir auch unser Gehirn als komplexen Graphen betrachten. Synapsen verbinden Nervenzellen miteinander und bilden einen riesigen Informationsspeicher.

Künstliche neuronale Netzwerke übernehmen dieses Konzept. Durch sie können Computer trainiert werden, das heißt, aus großen Datenmengen lernen und Strukturen erkennen, ohne explizit programmiert zu werden. Sie sind ein wichtiger Teilbereich der künstlichen Intelligenz und finden zum Beispiel bei Bild-, Gesichts- oder Spracherkennung oder bei Frühwarnsystemen ihre Anwendung.